trace-free:
$(A_{ij})^{TF}$ $= A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl}$

such that
$tr A = {A^k}_k = \gamma^{ij} A_{ij}$
$= \gamma^{ij} (A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl})$
$= \gamma^{ij} A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma^{ij} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl}$
$= {A^k}_k - \frac{3}{3} {A^k}_k$
$= 0$

notice that:
$(A_{ij})^{TF}$ $= A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl}$
$= A_{ij} - \frac{1}{3} \chi \gamma_{ij} \chi^{-1} \gamma^{kl} A_{kl}$
Let $\bar{\gamma}_{ij} = \chi \gamma_{ij}$ be a rescaled metric, and let $\bar{\gamma}^{ij}$ be its inverse.
$= A_{ij} - \frac{1}{3} \bar{\gamma}_{ij} \bar{\gamma}^{kl} A_{kl}$
Therefore when removing the trace, any scalar of the metric can be used.

linearity of trace-free:
$(A_{ij} + B_{ij})^{TF}$
$= (A_{ij} + B_{ij}) - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} (A_{kl} + B_{kl})$
$= A_{ij} + B_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} B_{kl}$
$= A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl} + B_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} B_{kl}$
$= (A_{ij})^{TF} + (B_{ij})^{TF}$

$(\alpha A_{ij})^{TF}$
$= (\alpha A_{ij}) - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} (\alpha A_{kl})$
$= \alpha (A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl})$
$= \alpha (A_{ij})^{TF}$

prove factors of the metric are removed from the trace-free operation:
$(A_{ij} + \alpha \gamma_{ij})^{TF}$
$= (A_{ij} + \alpha \gamma_{ij}) - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} (A_{kl} + \alpha \gamma_{kl})$
$= A_{ij} + \alpha \gamma_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} \alpha \gamma_{kl}$
$= A_{ij} - \frac{1}{3} \gamma_{ij} \gamma^{kl} A_{kl}$
$= (A_{ij})^{TF}$