Bona-Masso Formalism:
defined variables:
$\alpha$ = lapse
$\beta^k$ = shift
$\gamma_{ij}$ = spatial metric
$K_{ij}$ = extrinsic curvature
hyperbolic formalism variables:
$A_k = (ln (\alpha))_{,k}$, therefore $\alpha A_k = \alpha_{,k}$
${B_k}^i = {1\over2} {\beta^i}_{,k}$
$D_{kij} = {1\over2} \gamma_{ij,k}$
$V_k = {D_{km}}^m - {D^m}_{mk}$
extra variables:
$s_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / \alpha$
${\lambda^k}_{ij} = {D^k}_{ij} + \delta^k_{(i} (A_{j)} + 2 V_{j)} - {D_{j)r}}^r)$
time evoluion (flux-less):
$\alpha_{,t} = -\alpha^2 Q$
${\beta^k}_{,t} = -2 \alpha^2 Q^i$ (check this, it's from the Bona Masso paper, which doesn't specify the $\alpha$ evolution, but does specify $ln(\alpha)$ evolution)
$\gamma_{ij,t} = -2 \alpha K_{ij}$
time evolution (flux terms):
$A_{k,t} + (-\beta^r A_k + \alpha Q \delta^r_k)_{,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) A_r$
${{B_k}^i}_{,t} + (-\beta^r {B_k}^i + \alpha Q^i \delta^r_k)_{,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) {B_r}^i$
$D_{kij,t} + (-\beta^r D_{kij} + \alpha \delta^r_k (K_{ij} - s_{ij}))_{,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) D_{rij}$
$K_{ij,t} + (-\beta^r K_{ij} + \alpha {\lambda^r}_{ij})_{,r} = \alpha S_{ij}$
$V_{k,t} = \alpha P_k$
expanded flux terms:
$A_{k,t} + \delta^r_k Q \alpha_{,r} - A_k {\beta^r}_{,r} - \beta^r {A_k}_{,r} + \delta^r_k \alpha Q_{,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) A_r$
${{B_k}^i}_{,t} - {\beta^r}_{,r} {B_k}^i - \beta^r {{B_k}^i}_{,r} + \delta^r_k \alpha_{,r} Q^i + \delta^r_k \alpha Q^i_{,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) {B_r}^i$
$D_{kij,t} - {\beta^r}_{,r} D_{kij} - \beta^r D_{kij,r} + \delta^r_k \alpha_{,r} K_ij + \delta^r_k \alpha K_{ij,r} - \delta^r_k B_{ij,r} - \delta^r_k B_{ji,r} = (2 {B_k}^r - \alpha tr(s) \delta^r_k) D_{rij}$
$K_{ij,t} - {\beta^r}_{,r} K_{ij} - \beta^r K_{ij,r} + \alpha_{,r} ({D^r}_{ij} + \delta^r_{(i} (A_{j)} + 2 V_{j)} - {D_{j)k}}^k)) + \alpha ({D^r}_{ij,r} + \delta^r_{(i} (A_{j),r} + 2 V_{j),r} - {{D_{j)k}}^k}_{,r})) = \alpha S_{ij}$
...when $\beta^k = 0$:
$A_{k,t} + \delta^r_k \alpha_{,r} Q + \delta^r_k \alpha Q_{,r} = 0$
$D_{kij,t} + \delta^r_k \alpha_{,r} K_ij + \delta^r_k \alpha K_{ij,r} = 0$
$K_{ij,t} + \alpha_{,r} ({D^r}_{ij} + \delta^r_{(i} (A_{j)} + 2 V_{j)} - {D_{j)k}}^k)) + \alpha {D^r}_{ij,r} + \alpha \delta^r_{(i} (A_{j),r} + 2 V_{j),r} - {{D_{j)k}}^k}_{,r}) = \alpha S_{ij}$
...for $Q = f(\alpha) tr(K)$:
$A_{k,t} + \delta^r_k tr(K) (f + \alpha f') \alpha_{,r} + \delta^r_k \alpha f \gamma^{ij} K_{ij,r} - \delta^r_k \alpha f K^{ij} \gamma_{ij,r} = 0$
$D_{kij,t} + \delta^r_k \alpha_{,r} K_ij + \delta^r_k \alpha K_{ij,r} = 0$
$K_{ij,t} + \alpha_{,r} ({D^r}_{ij} + \delta^r_{(i} (A_{j)} + 2 V_{j)} - {D_{j)k}}^k)) + \alpha {D^r}_{ij,r} + \alpha \delta^r_{(i} (A_{j),r} + 2 V_{j),r} - {{D_{j)k}}^k}_{,r}) = \alpha S_{ij}$
...with partials replaced with hyperbolic formalisms where possible:
$A_{k,t} + \delta^r_k \alpha f \gamma^{ij} K_{ij,r} = -\alpha tr(K) (f + \alpha f') A_k + 2 \alpha f K^{ij} D_{kij}$
$D_{kij,t} + \delta^r_k \alpha K_{ij,r} = -\alpha A_k K_{ij}$
$K_{ij,t}
+ \alpha \delta^r_{(i} \delta^m_{j)} A_{m,r}
+ \alpha (\gamma^{rm} \delta^p_i \delta^q_j - \gamma^{pq} \delta^r_i \delta^m_j) D_{mpq,r}
+ 2 \alpha \delta^r_{(i} \delta^m_{j)} V_{m,r}
= \alpha S_{ij}
- \alpha {\lambda^k}_{ij} A_k
- 2 \alpha {D_{(j}}^{mn} D_{i)mn}
+ 2 \alpha {D_m}^{mk} {D^k}_{ij}$
...what is currently implemented: (source terms at least)
(how did the coefficients of the derivative magically change from the last system to this system?)
$A_{k,t} + \alpha f \gamma^{ij} K_{ij,k} = -\alpha tr(K) (f + \alpha f') A_k + 2 \alpha f K^{ij} D_{kij}$
$D_{kij,t} + \alpha K_{ij,k} = -\alpha A_k K_{ij}$
$K_{ij,t}
+ \alpha \gamma^{km} D_{mij,k}
+ {1\over2} \alpha (\delta^k_i \delta^l_j
+ \delta^k_j \delta^l_i) A_{l,k}
+ \alpha (\delta^k_i \delta^m_j + \delta^k_j \delta^m_i) V_{m,k}
= \alpha S_{ij}
- \alpha {\lambda^k}_{ij} A_k
+ 2 \alpha D_{mij} {D_k}^{km}
$
matrix form:
$\left[ \matrix{ A_k \\ D_{kij} \\ K_{ij} \\ V_k } \right]_{,t}
+ \left[\matrix{
0 & 0 & \alpha f \gamma^{pq} \delta^r_k & 0 \\
0 & 0 & \alpha \delta^r_k \delta^p_i \delta^q_j & 0 \\
\alpha \delta^r_{(i} \delta^m_{j)} &
\alpha \gamma^{rm} \delta^p_i \delta^q_j &
0 &
2 \alpha \delta^r_{(i} \delta^m_{j)} \\
0 & 0 & 0 & 0
}\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ K_{pq} \\ V_m}\right]_{,r} = Source$
Considering flux along the $\chi$ direction.
Let $\chi'$ denote all indexes except $\chi$.
Eigenfields of flux terms:
For $\lambda = 0$:
$w_{\chi'} = A_{\chi'}$ aka
$\left[\matrix{ \delta^m_{\chi'} & 0 & 0 & 0 }\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m \\ K_{pq}}\right]$
$w_{\chi'ij} = D_{\chi'ij}$ aka
$\left[\matrix{ 0 & \delta^m_{\chi'} \delta^p_i \delta^q_j & 0 & 0 }\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq}\\ V_m \\ K_{pq} }\right]$
$w_i = V_i$ aka
$\left[\matrix{ 0 & 0 & \delta^m_i & 0 }\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m\\ K_{pq} }\right]$
$w_\chi = A_\chi - f D_{\chi pq} \gamma^{pq}$ aka
$\left[\matrix{ \delta^m_\chi & -f \delta^m_\chi \gamma^{pq} & 0 & 0 }\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m\\ K_{pq} }\right]$
for $\lambda = \pm \alpha \sqrt{\gamma^{\chi\chi}}$:
$w_{i\chi'\pm} = \pm \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} D_{\chi i\chi'} \pm \delta^\chi_i V_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} + K_{i\chi'}$ aka
$\left[\matrix{
0 &
\pm \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi \delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
\pm \delta^\chi_i \delta^m_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\delta^p_i \delta^q_{\chi'}
}\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m \\ K_{pq}}\right]$
$\lambda = \pm \alpha \sqrt{f \gamma^{\chi\chi}}$
$w_{\pm} = \pm \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} A_\chi \pm 2 \gamma^{\chi r} V_r / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} + \sqrt{f} \gamma^{pq} K_{pq}$ aka
$\left[\matrix{
\pm \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi &
0 &
\pm 2 \gamma^{\chi m} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\sqrt{f} \gamma^{pq}
}\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m \\ K_{pq}}\right]$
Eigenfields <-> Left Eigenvectors
$diag\left[\matrix{
-\alpha \sqrt{f \gamma^{\chi\chi}} \\
-\alpha \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \\
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
\alpha \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \\
\alpha \sqrt{f \gamma^{\chi\chi}}
}\right]
\left[\matrix{
-\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi &
0 &
-2 \gamma^{\chi m} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\sqrt{f} \gamma^{pq}
\\
0 &
-\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi \delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
-\delta^\chi_i \delta^m_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\delta^p_i \delta^q_{\chi'}
\\
\delta^m_{\chi'} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \delta^m_{\chi'} \delta^p_i \delta^q_j & 0 & 0 \\
0 & 0 & \delta^m_i & 0 \\
\delta^m_\chi & -f \gamma^{pq} \delta^m_\chi & 0 & 0 \\
\\
0 &
\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi \delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
\delta^\chi_i \delta^m_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\delta^p_i \delta^q_{\chi'}
\\
\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi &
0 &
2 \gamma^{\chi m} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\sqrt{f} \gamma^{pq}
}\right]
\left[\matrix{A_m \\ D_{mpq} \\ V_m \\ K_{pq}}\right]$
Full system, including $\alpha$ and $\gamma_{ij}$, and putting $V_k$ last -- to match the GPU implementation:
$
\left[\matrix{
w^{fast}_- \\
w^{light}_{i\chi'-} \\
w^\alpha \\
w^\gamma_{ij} \\
w^A_{\chi'} \\
w^D_{\chi'ij} \\
w^V_i \\
w^\chi \\
w^{light}_{i\chi'+} \\
w^{fast}_+
}\right] =
diag\left[\matrix{
-\alpha \sqrt{f \gamma^{\chi\chi}} \\
-\alpha \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \\
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
\alpha \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \\
\alpha \sqrt{f \gamma^{\chi\chi}}
}\right] \cdot
\left[\matrix{
0 &
0 &
-\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi &
0 &
\sqrt{f} \gamma^{pq} &
-2 \gamma^{\chi m} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}}
\\
0 &
0 &
0 &
-\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi \delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
\delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
-\delta^\chi_i \delta^m_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}}
\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \delta^p_i \delta^q_j & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \delta^m_{\chi'} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \delta^m_{\chi'} \delta^p_i \delta^q_j & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \delta^m_i \\
0 & 0 & \delta^m_\chi & -f \gamma^{pq} \delta^m_\chi & 0 & 0 \\
\\
0 &
0 &
0 &
\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi \delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
\delta^p_i \delta^q_{\chi'} &
\delta^\chi_i \delta^m_{\chi'} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}} &
\\
0 &
0 &
\sqrt{\gamma^{\chi\chi}} \delta^m_\chi &
0 &
\sqrt{f} \gamma^{pq} &
2 \gamma^{\chi m} / \sqrt{\gamma^{\chi\chi}}
}\right]
\left[\matrix{
\alpha \\ \gamma_{pq} \\ A_m \\ D_{mpq} \\ K_{pq} \\ V_m
}\right]$
Expanded, represent symmetric in the order of xx, xy, xz, yy, yz, zz
Flux along x axis:
$diag\left[\matrix{
-\alpha \sqrt{f \gamma^{xx}} \\
-\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ -\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ -\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ -\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ -\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\
0 \\ 0 \\
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
0 \\ 0 \\ 0 \\
0 \\
\alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ \alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ \alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ \alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\ \alpha \sqrt{\gamma^{xx}} \\
\alpha \sqrt{f \gamma^{xx}}
}\right]
\left[\matrix{
-\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
-2 \gamma^{xx} / \sqrt{\gamma^{xx}} & -2 \gamma^{xy} / \sqrt{\gamma^{xx}} &-2 \gamma^{xz} / \sqrt{\gamma^{xx}} &
\sqrt{f} \gamma^{xx} & \sqrt{f} \gamma^{xy} & \sqrt{f} \gamma^{xz} & \sqrt{f} \gamma^{yy} & \sqrt{f} \gamma^{yz} & \sqrt{f} \gamma^{zz} &
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & -\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & -1 / \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot &
\cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & -\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & -1 / \sqrt{\gamma^{xx}} &
\cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & -\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & -\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & -\sqrt{\gamma^{xx}} &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1
\\
\cdot & 1 & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\\
\cdot & \cdot & 1 &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
1 & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & 1 & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & 1 &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
1 & \cdot & \cdot &
-f\gamma^{xx} & -f\gamma^{xy} & -f\gamma^{xz} & -f\gamma^{yy} & -f\gamma^{yz} & -f\gamma^{zz} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & 1 / \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot &
\cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & 1 / \sqrt{\gamma^{xx}} &
\cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & \cdot
\\
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \sqrt{\gamma^{xx}} &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1
\\
\sqrt{\gamma^{xx}} & \cdot & \cdot &
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &
2 \gamma^{xx} / \sqrt{\gamma^{xx}} & 2 \gamma^{xy} / \sqrt{\gamma^{xx}} &2 \gamma^{xz} / \sqrt{\gamma^{xx}} &
\sqrt{f} \gamma^{xx} & \sqrt{f} \gamma^{xy} & \sqrt{f} \gamma^{xz} & \sqrt{f} \gamma^{yy} & \sqrt{f} \gamma^{yz} & \sqrt{f} \gamma^{zz} &
}\right]
\left[\matrix{
A_x \\
A_y \\
A_z \\
D_{xxx} \\
D_{xxy} \\
D_{xxz} \\
D_{xyy} \\
D_{xyz} \\
D_{xzz} \\
D_{yxx} \\
D_{yxy} \\
D_{yxz} \\
D_{yyy} \\
D_{yyz} \\
D_{yzz} \\
D_{zxx} \\
D_{zxy} \\
D_{zxz} \\
D_{zyy} \\
D_{zyz} \\
D_{zzz} \\
V_x \\
V_y \\
V_z \\
K_{xx} \\
K_{xy} \\
K_{xz} \\
K_{yy} \\
K_{yz} \\
K_{zz} \\
}\right]$