properties of hypersurface normal:
${{{{ n} ^a}} {{{ n} _a}}} = {-1}$ = unit hypersurface normal
${{{{{ n} _a}} {{{{ n} ^a} _{;b}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{{ n} _a} _{;b}}}}} = {0}$
${{{{ n} ^a}} {{{{ n} _a} _{;b}}}} = {0}$
${{{{ n} _a}} {{{{ n} ^a} _{;b}}}} = {0}$

matter hypersurface normal definition:
${\rho} = {{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ T} _a} _b}}}$ = density

projection tensor:
${{{ \gamma} _a} _b} = {{{{ g} _a} _b} + {{{{ n} _a}} {{{ n} _b}}}}$ = projection operator
${{{ \gamma} _a} ^b} = {{{{ δ} _a} ^b} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}$
${{{ δ} _a} ^b} = {{{{ \gamma} _a} ^b}{-{{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}}$
${{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}} = {{{{ \gamma} _a} ^b}{-{{{ δ} _a} ^b}}}$

${{{{{ \gamma} _a} ^c}} {{{{ \gamma} _c} ^b}}} = {{{\left({{{{ δ} _a} ^c} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^c}}}}\right)}} {{\left({{{{ δ} _c} ^b} + {{{{ n} _c}} {{{ n} ^b}}}}\right)}}}$
${{{{{ \gamma} _a} ^c}} {{{{ \gamma} _c} ^b}}} = {{{{ δ} _a} ^b} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}$
${{{{{ \gamma} _a} ^c}} {{{{ \gamma} _c} ^b}}} = {{{ \gamma} _a} ^b}$

${{{{ n} ^a}} {{{{ \gamma} _a} ^b}}} = {{{{ n} ^a}} {{\left({{{{ δ} _a} ^b} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}\right)}}}$
${{{{ n} ^a}} {{{{ \gamma} _a} ^b}}} = {{{ n} ^b} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}$
${{{{ n} ^b}} {{{{ \gamma} _b} ^a}}} = {0}$

${{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _a} ^b}}} = {{{{ n} _b}} {{\left({{{{ δ} _a} ^b} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^b}}}}\right)}}}$
${{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _a} ^b}}} = {{{ n} _a} + {{{{ n} _a}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^b}}}}$
${{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _a} ^b}}} = {0}$

properties of spatial vectors:
${{{{ v} ^a}} {{{ n} _a}}} = {0}$
${{{{{ n} _a}} {{{{ v} ^a} _{;b}}}} + {{{{ v} ^a}} {{{{ n} _a} _{;b}}}}} = {0}$
${{{{ n} _a}} {{{{ v} ^a} _{;b}}}} = {-{{{{ v} ^a}} {{{{ n} _a} _{;b}}}}}$

${{{{ v} _a}} {{{ n} ^a}}} = {0}$
${{{{ n} ^a}} {{{{ v} _a} _{;b}}}} = {-{{{{ v} _a}} {{{{ n} ^a} _{;b}}}}}$

${{{{{ \gamma} _b} ^a}} {{{ v} ^b}}} = {{ v} ^a}$

extrinsic curvature
${{{ K} _a} _b} = { {-{{{ \gamma} _a} ^c}} {{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ n} _c} _{;d}}}}$
${{{ K} _a} _b} = { {-{{{ \gamma} _a} ^c}} {{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ n} _c} _{;d}}}}$
${{{ K} _a} _b} = { {-{\left({{{{ δ} _a} ^c} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^c}}}}\right)}} {{\left({{{{ δ} _b} ^d} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}}}}\right)}} {{{{ n} _c} _{;d}}}}$
${{{ K} _a} _b} = {{{{-1}} {{{{ n} _a} _{;b}}}} + {{{-1}} {{{ n} _a}} {{{ n} ^c}} {{{{ n} _c} _{;b}}}} + {{{-1}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ n} _a} _{;d}}}} + {{{-1}} {{{ n} _a}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^c}} {{{ n} ^d}} {{{{ n} _c} _{;d}}}}}$
${{{ K} _a} _b} = {-{\left({{{{ n} _a} _{;b}} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ n} _a} _{;d}}}}}\right)}}$
${{{ n} _a} _{;b}} = {-{\left({{{{ K} _a} _b} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ n} _a} _{;d}}}}}\right)}}$

${{{{ n} ^a}} {{{{ K} _a} _b}}} = {0}$ because $n \cdot \gamma = 0$ and $K = \perp \nabla n$

projection of covariant derivative on a spatial vector
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{ \gamma} _c} ^a}} {{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ v} ^c} _{;d}}}}$
using ${{{ \gamma} _a} ^c} = {{{{ δ} _a} ^c} + {{{{ n} _a}} {{{ n} ^c}}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ v} ^c} _{;d}}} {{\left({{{{ δ} _c} ^a} + {{{{ n} _c}} {{{ n} ^a}}}}\right)}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ v} ^a} _{;d}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _c}} {{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ v} ^c} _{;d}}}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{\left({{{{ v} ^a} _{;d}}{-{{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ n} _c} _{;d}}}}}}\right)}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{\left({{{{ v} ^a} _{;d}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _d}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _d}} {{{ n} ^e}} {{{ v} ^c}} {{{{ n} _c} _{;e}}}}}\right)}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{\left({{{{ δ} _b} ^d} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}}}}\right)}} {{\left({{{{ v} ^a} _{;d}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _d}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _d}} {{{ n} ^e}} {{{ v} ^c}} {{{{ n} _c} _{;e}}}}}\right)}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{ v} ^a} _{;b}} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ v} ^a} _{;d}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _b}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _d}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^e}} {{{ v} ^c}} {{{{ n} _c} _{;e}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _b}} {{{ n} _d}} {{{ n} ^d}} {{{ n} ^e}} {{{ v} ^c}} {{{{ n} _c} _{;e}}}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{ v} ^a} _{;b}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _b}}} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ v} ^a} _{;d}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _d}}}}$
using ${{{{ n} ^d}} {{{{ K} _c} _d}}} = {0}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{ v} ^a} _{;b}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _b}}} + {{{{ n} _b}} {{{ n} ^d}} {{{{ v} ^a} _{;d}}}}}$
${{{ v} ^a} _{|b}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^c}} {{{{ v} ^a} _{;c}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^c}} {{{{ K} _c} _b}}}}$

2nd projection covariant derivative of a spatial vector
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{\left( {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ v} ^a} _{;d}}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _b}}}\right)} _{|c}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{\left( {{{{{ \gamma} _e} ^d}} {{{{ v} ^g} _{;d}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _e}}}\right)} _{;f}}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _e} ^d}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{{{{ \gamma} _e} ^d} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{ v} ^d}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ K} _d} _e} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^d} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}} {{{{ \gamma} _b} ^d}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{{{{ \gamma} _e} ^d} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{ v} ^d}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ K} _d} _e} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^d} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^d} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{{{{ \gamma} _e} ^d} _{;f}}}} + {{{{ n} ^g}} {{{ v} ^d}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ K} _d} _e} _{;f}}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{{{{ \gamma} _e} ^d} _{;f}}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{\left({{{{{ δ} _e} ^d} _{;f}} + {{{{ n} _e}} {{{{ n} ^d} _{;f}}}} + {{{{ n} ^d}} {{{{ n} _e} _{;f}}}}}\right)}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{ v} ^g} _{;d}} _{;f}}}} + {{{{ v} ^d}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;f}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ v} ^g} _{;d}}} {{{{{ δ} _e} ^d} _{;f}}}} + {{{{ n} _e}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} ^d} _{;f}}} {{{{ v} ^g} _{;d}}}} + {{{{ n} ^d}} {{{{ \gamma} _b} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{ n} _e} _{;f}}} {{{{ v} ^g} _{;d}}}}}$
${{{{ v} ^a} _{|b}} _{|c}} = {{{{-1}} {{{ n} ^d}} {{{{ K} _b} _c}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;d}}}} + {{{-1}} {{{ v} ^d}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ K} _d} _b}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{{ v} ^f} _{;d}} _{;e}}}} + {{{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;g}}} {{{{{ δ} _d} ^g} _{;e}}}} + {{{{ n} _d}} {{{{ \gamma} _b} ^d}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;g}}}}}$

Riemann curvature of covariant derivative
${{{{{{{ R} ^a} _b} _c} _d}} {{{ v} ^b}}} = {{{{{ v} ^a} _{;d}} _{;c}}{-{{{{ v} ^a} _{;c}} _{;d}}}}$

Riemann curvature of projection covariant derivative
${{{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d}} {{{ v} ^b}}} = {{{{{ v} ^a} _{|d}} _{|c}}{-{{{{ v} ^a} _{|c}} _{|d}}}}$
${{{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d}} {{{ v} ^b}}} = {{-{\left({{{{-1}} {{{ n} ^g}} {{{{ K} _c} _d}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;g}}}} + {{{-1}} {{{ v} ^g}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ K} _g} _c}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{{ v} ^f} _{;g}} _{;e}}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;g}}} {{{{{ δ} _g} ^g} _{;e}}}} + {{{{ n} _g}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;g}}}}}\right)}} + {{{-1}} {{{ n} ^g}} {{{{ K} _d} _c}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;g}}}} + {{{-1}} {{{ v} ^g}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ K} _g} _d}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{{ v} ^f} _{;g}} _{;e}}}} + {{{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;g}}} {{{{{ δ} _g} ^g} _{;e}}}} + {{{{ n} _g}} {{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;g}}}}}$
using ${{{{{{ v} ^f} _{;g}} _{;e}}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}}} = {{{\left({{{{{ v} ^f} _{;e}} _{;g}} + {{{{ v} ^b}} {{{{{{ R} ^f} _b} _e} _g}}}}\right)}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}}}$
${{{{ v} ^b}} {{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d}}} = {{{{{ n} ^g}} {{{{ K} _c} _d}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;g}}}} + {{{-1}} {{{ n} ^g}} {{{{ K} _d} _c}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;g}}}} + {{{-1}} {{{ v} ^g}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ K} _g} _d}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{{ v} ^g}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ K} _g} _c}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{-1}} {{\left({{{{{ v} ^f} _{;e}} _{;g}} + {{{{ v} ^b}} {{{{{{ R} ^f} _b} _e} _g}}}}\right)}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{{ v} ^f} _{;g}} _{;e}}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;g}}} {{{{{ δ} _g} ^g} _{;e}}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;g}}} {{{{{ δ} _g} ^g} _{;e}}}} + {{{-1}} {{{ n} _g}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;g}}}} + {{{{ n} _g}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^g} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;g}}}}}$
${{{{ v} ^b}} {{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d}}} = {{{{{ n} ^b}} {{{{ K} _c} _d}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;b}}}} + {{{-1}} {{{ n} ^b}} {{{{ K} _d} _c}} {{{{ \gamma} _e} ^a}} {{{{ v} ^e} _{;b}}}} + {{{{ v} ^b}} {{{{ K} _b} _c}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{-1}} {{{ v} ^b}} {{{{ K} _b} _d}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{-1}} {{{ v} ^b}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{{ R} ^g} _b} _f} _e}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;e}}} {{{{{ δ} _e} ^e} _{;b}}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;b}}} {{{{{ δ} _b} ^b} _{;e}}}} + {{{-1}} {{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^b} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;b}}}} + {{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^b}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^b} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;b}}}}}$
${{{{ v} ^b}} {{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d}}} = {{{{{ v} ^b}} {{{{ K} _b} _c}} {{{{ K} _d} _e}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{-1}} {{{ v} ^b}} {{{{ K} _b} _d}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}}} + {{{-1}} {{{ v} ^b}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{{ R} ^g} _b} _f} _e}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;b}}} {{{{{ δ} _b} ^b} _{;e}}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;e}}} {{{{{ δ} _e} ^e} _{;b}}}} + {{{-1}} {{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^b} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;b}}}} + {{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^b}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^b} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;b}}}}}$
${{{{{ \gamma} _b} ^h}} {{{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _h} _c} _d}}} = {{{{{{ K} _d} _e}} {{{{ K} _h} _c}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}} {{{{ \gamma} _b} ^h}}} + {{{-1}} {{{{ K} _c} _e}} {{{{ K} _h} _d}} {{{{ \gamma} ^a} ^e}} {{{{ \gamma} _b} ^h}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;e}}} {{{{{ δ} _e} ^e} _{;h}}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;h}}} {{{{{ δ} _h} ^h} _{;e}}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _b} ^h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{{ R} ^g} _h} _f} _e}}} + {{{-1}} {{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}} + {{{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^h}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}}}$
${{{{{ {(R^\perp)}} ^a} _b} _c} _d} = {{{{{{ K} _d} ^a}} {{{{ K} _b} _c}}} + {{{-1}} {{{{ K} _c} ^a}} {{{{ K} _b} _d}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _b} ^h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^a}} {{{{{{ R} ^g} _h} _f} _e}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;h}}} {{0}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ v} ^f} _{;e}}} {{0}}} + {{{-1}} {{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}} + {{{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^h}} {{{{ \gamma} _f} ^a}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}}}$
${{{{{{{ {(R^\perp)}} ^k} _b} _c} _d}} {{{{ \gamma} _a} _k}}} = {{{\left({{{{{{ K} _d} ^k}} {{{{ K} _b} _c}}} + {{{-1}} {{{{ K} _c} ^k}} {{{{ K} _b} _d}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _b} ^h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^k}} {{{{{{ R} ^g} _h} _f} _e}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^k}} {{{{ v} ^f} _{;h}}} {{0}}} + {{{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^k}} {{{{ v} ^f} _{;e}}} {{0}}} + {{{-1}} {{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^h}} {{{{ \gamma} _d} ^e}} {{{{ \gamma} _f} ^k}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}} + {{{{ n} _h}} {{{{ \gamma} _c} ^e}} {{{{ \gamma} _d} ^h}} {{{{ \gamma} _f} ^k}} {{{{ n} ^h} _{;e}}} {{{{ v} ^f} _{;h}}}}}\right)}} {{{{ \gamma} _a} _k}}}$
${{{{{ {(R^\perp)}} _a} _b} _c} _d} = {{{{{{ K} _a} _d}} {{{{ K} _b} _c}}} + {{{-1}} {{{{ K} _a} _c}} {{{{ K} _b} _d}}} + {{{-1}} {{{{ \gamma} _a} ^e}} {{{{ \gamma} _b} ^f}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^h}} {{{{{{ R} _e} _f} _h} _g}}} + {{{-1}} {{{ n} _f}} {{{{ \gamma} _a} _k}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _d} ^g}} {{{{ \gamma} _h} ^k}} {{{{ n} ^f} _{;g}}} {{{{ v} ^h} _{;f}}}} + {{{{ n} _f}} {{{{ \gamma} _a} _k}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _h} ^k}} {{{{ n} ^f} _{;g}}} {{{{ v} ^h} _{;f}}}}}$
${{{{{ {(R^\perp)}} _a} _b} _c} _d} = {{{{{{ K} _a} _d}} {{{{ K} _b} _c}}}{-{{{{{ K} _a} _c}} {{{{ K} _b} _d}}}}{-{{{{{ \gamma} _b} ^f}} {{{{ \gamma} _a} ^e}} {{{{ \gamma} _c} ^g}} {{{{ \gamma} _d} ^h}} {{{{{{ R} _e} _f} _h} _g}}}}{-{{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _a} _e}} {{{{ \gamma} _c} ^b}} {{{{ \gamma} _d} ^f}} {{{{ \gamma} _g} ^e}} {{{{ n} ^b} _{;f}}} {{{{ v} ^g} _{;b}}}}} + {{{{ n} _b}} {{{{ \gamma} _c} ^f}} {{{{ \gamma} _a} _e}} {{{{ \gamma} _d} ^b}} {{{{ \gamma} _g} ^e}} {{{{ n} ^b} _{;f}}} {{{{ v} ^g} _{;b}}}}}$
Gauss' equation

Einstein Field Equations
${{{ G} _a} _b} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{{ T} _a} _b}}}$
using ${{{ G} _a} _b} = {{{{ R} _a} _b}{-{{{\frac{1}{2}}} {{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}$
${{{{ R} _a} _b}{-{{{\frac{1}{2}}} {{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{{ T} _a} _b}}}$

time-by-time
${{\frac{1}{2}} {{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{\left({{{{2}} {{{{ R} _a} _b}}}{-{{{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}\right)}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ T} _a} _b}}}$
${{{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ R} _a} _b}}} + {{{-1}} \cdot {{\frac{1}{2}}} {{R}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^b}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ T} _a} _b}}}$
using ${{{{ n} ^a}} {{{ n} _a}}} = {-1}$ , ${\rho} = {{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ T} _a} _b}}}$
${{{{\frac{1}{2}}} {{R}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{{ R} _a} _b}}}} = {{{8}} {{\rho}} \cdot {{π}}}$

time-by-space
${{\frac{1}{2}} {{{{ n} ^a}} {{{{ \gamma} _i} ^b}} {{\left({{{{2}} {{{{ R} _a} _b}}}{-{{{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}\right)}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{{{ T} _a} _b}} {{{{ \gamma} _i} ^b}}}$
${{\frac{1}{2}} {{{{ n} ^a}} {{\left({{{{ δ} _i} ^b} + {{{{ n} _i}} {{{ n} ^b}}}}\right)}} {{\left({{{{2}} {{{{ R} _a} _b}}}{-{{{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}\right)}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{{{ T} _a} _b}} {{\left({{{{ δ} _i} ^b} + {{{{ n} _i}} {{{ n} ^b}}}}\right)}}}$
${{\frac{1}{2}}{\left({{-{{{R}} {{{ n} _i}}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{{ R} _a} _i}}}{-{{{R}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{{ R} _a} _b}}}}\right)}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{\left({{{{ T} _a} _i} + {{{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{{ T} _a} _b}}}}\right)}}}$
${{{{ n} ^a}} {{\left({{{{ R} _a} _i} + {{{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{{ R} _a} _b}}}}\right)}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{ n} ^a}} {{\left({{{{ T} _a} _i} + {{{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{{ T} _a} _b}}}}\right)}}}$

space-by-space
${{\frac{1}{2}} {{{{{ \gamma} _i} ^a}} {{{{ \gamma} _j} ^b}} {{\left({{{{2}} {{{{ R} _a} _b}}}{-{{{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}\right)}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{{ T} _a} _b}} {{{{ \gamma} _i} ^a}} {{{{ \gamma} _j} ^b}}}$
${{\frac{1}{2}} {{{\left({{{{ δ} _i} ^a} + {{{{ n} _i}} {{{ n} ^a}}}}\right)}} {{\left({{{{ δ} _j} ^b} + {{{{ n} _j}} {{{ n} ^b}}}}\right)}} {{\left({{{{2}} {{{{ R} _a} _b}}}{-{{{R}} {{{{ g} _a} _b}}}}}\right)}}}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{{{ T} _a} _b}} {{\left({{{{ δ} _i} ^a} + {{{{ n} _i}} {{{ n} ^a}}}}\right)}} {{\left({{{{ δ} _j} ^b} + {{{{ n} _j}} {{{ n} ^b}}}}\right)}}}$
${{\frac{1}{2}}{\left({{{{2}} {{{{ R} _i} _j}}}{-{{{R}} {{{{ g} _i} _j}}}}{-{{{2}} {{R}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}}}} + {{{2}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _j}} {{{{ R} _i} _b}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{ n} _i}} {{{{ R} _a} _j}}}{-{{{R}} {{{ n} _b}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}} {{{{ R} _a} _b}}}}\right)}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{\left({{{{ T} _i} _j} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _i}} {{{{ T} _a} _j}}} + {{{{ n} ^b}} {{{ n} _j}} {{{{ T} _i} _b}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}} {{{{ T} _a} _b}}}}\right)}}}$
${{\frac{1}{2}}{\left({{{{2}} {{{{ R} _i} _j}}}{-{{{R}} {{{{ g} _i} _j}}}}{-{{{R}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}}}} + {{{2}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _j}} {{{{ R} _i} _b}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{ n} _i}} {{{{ R} _a} _j}}} + {{{2}} {{{ n} ^a}} {{{ n} ^b}} {{{ n} _i}} {{{ n} _j}} {{{{ R} _a} _b}}}}\right)}} = {{{8}} {{π}} \cdot {{\left({{{{ T} _i} _j} + {{{\rho}} \cdot {{{ n} _i}} {{{ n} _j}}} + {{{{ n} ^b}} {{{ n} _j}} {{{{ T} _i} _b}}} + {{{{ n} ^a}} {{{ n} _i}} {{{{ T} _a} _j}}}}\right)}}}$